Система СИ — принятая международная система измерения физических величин.
Символ
Величина
Единица
$L$
длина
метр (м)
$t$
время
секунда (с)
$m$
масса
килограмм (кг)
$I$
сила тока
ампер (А)
$K$
температура
кельвин (К)
Системы координат
Из учебника Кочеев-Сербо, §1
Материальная точка (частица) — тело, размерами которого можно пренебречь в данных условиях движения. Например, Землю можно рассматривать как материальную точку при изучении её движения вокруг Солнца (отношение радиуса Земли к расстоянию до Солнца $\sim 10^{-5}$), но не при описании приливов. Положение частицы задаётся радиус-вектором $\vec{r}(t)$, конец которого описывает траекторию.
Координаты: $(r, \varphi, z)$. Орты: $\vec{e}_r$ (по направлению радиуса от центра), $\vec{e}_\varphi$ (по касательной), $\vec{e}_z$ (по оси $z$).
$$d\vec{r} = \vec{e}_r \, dr + \vec{e}_\varphi \, r \, d\varphi + \vec{e}_z \, dz$$
Важно
Базис $(\vec{e}_r, \vec{e}_\varphi, \vec{e}_z)$ меняется в зависимости от точки, поэтому дифференцировать через формулу «как обычно» нельзя!
Сферическая система координат
Координаты: $(r, \theta, \varphi)$, где $r$ — расстояние от начала координат до частицы, $\theta\in[0,\pi]$ — полярный угол между осью $z$ и радиус-вектором, $\varphi\in[0,2\pi)$ — азимутальный угол между осью $x$ и проекцией радиус-вектора на плоскость $xy$. Если поместить начало в центре глобуса с северным полюсом на оси $z$, то $\theta$ отсчитывается вдоль меридиана к югу, а $\varphi$ — вдоль широты к востоку (Кочеев-Сербо §1). Орты $\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_\varphi$ направлены вдоль радиус-вектора, вдоль меридиана и вдоль широты соответственно.
$$\vec r = \vec{e}_r \, r, \qquad d\vec{r} = \vec{e}_r \, dr + \vec{e}_\theta \, r \, d\theta + \vec{e}_\varphi \, r \sin\theta \, d\varphi$$
Скорость — изменение расстояния за единицу времени; равна производной радиус-вектора по времени:
$$\vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dot{\vec{r}} = \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\vec{r}(t+\Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t}$$
Из учебника Кочеев-Сербо, §1–2
Вектор скорости $\vec{v}(t)$ параллелен касательной к траектории в точке $\vec{r}(t)$. С течением времени конец вектора $\vec{v}(t)$ описывает кривую — годограф скорости. Вектор ускорения $\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt}$ параллелен касательной к годографу скорости, но может быть направлен произвольно по отношению к траектории.
Определение
Ускорение — изменение скорости за единицу времени:
$$\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dot{\vec{v}} = \ddot{\vec{r}}$$
Разложение ускорения на компоненты
$\vec{a} = \vec{a}_\tau + \vec{a}_n$, где:
$\vec{a}_\tau$ — тангенциальное (касательное, продольное) ускорение — направлено по касательной к траектории.
Угловая скорость — производная угла по времени:
$$\omega = \dfrac{d\varphi}{dt} \quad \left[\dfrac{\text{рад}}{\text{с}}\right]$$
Вектор $\vec{\omega}$ направлен по оси вращения (по правилу правой руки).
Связь скорости с угловой скоростью в полярных координатах. Воспользуемся правилом дифференцирования произведения и тем, что при вращении $\dfrac{d\vec{e}_r}{d\varphi} = \vec{e}_\varphi$:
$$\vec{v} = \dfrac{d(r \vec{e}_r)}{dt} = \vec{e}_r \, \dot r + r \, \dfrac{d\vec{e}_r}{d\varphi} \cdot \dot\varphi = \vec{e}_r \, \dot r + r \omega \, \vec{e}_\varphi$$
$$v_r = \dot{r}, \qquad v_n = r \dot{\varphi} = r \omega$$
В векторной форме связь линейной и угловой скоростей для точки на вращающемся радиус-векторе:
Радиус кривизны траектории: через три близкие точки траектории $\vec r(t-\Delta t)$, $\vec r(t)$, $\vec r(t+\Delta t)$ можно провести окружность. При $\Delta t\to 0$ её радиус $R_\text{кр}(t)$ называется радиусом кривизны траектории в точке $\vec r(t)$. Из разложения ускорения на тангенциальную и нормальную составляющие и условия движения по соприкасающейся окружности получается удобная формула:
$$R_\text{кр} = \dfrac{v^2}{a_n}, \qquad a_n = \vec a - \vec a_\tau = \vec a - \dfrac{(\vec a\cdot\vec v)}{v^2}\vec v$$
Кривизна — обратная величина: $K = \dfrac{1}{R_\text{кр}}$.
Определение (Лекция 1+(2))
Кривизна — степень отклонения кривой от прямой; определяется как отношение малого поворота касательной $\Delta\varphi$ к соответствующему малому перемещению вдоль кривой $\Delta l$:
$$K = \dfrac{d\varphi}{dl} = \lim_{\Delta l \to 0}\dfrac{\Delta\varphi}{\Delta l}, \qquad R_\text{кр} = \dfrac{1}{K}$$
Центростремительное ускорение:
$$a_n = \dfrac{v^2}{R_{\text{кр}}}$$
2. Принцип относительности. Преобразования Галилея
Инерциальные системы отсчёта
Определение
Инерциальная система отсчёта (ИСО) — система отсчёта, относительно которой тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если равнодействующая сил (сумма всех сил, действующих на тело) равна нулю.
Фундаментальные свойства пространства-времени:
— Однородность пространства (сдвиговая симметрия): равноправность всех пространственных точек.
— Изотропность пространства (симметрия относительно поворотов): равноправность всех направлений.
— Однородность времени (трансляционная симметрия): равноправность всех временных точек отсчёта.
Все инерциальные СО равноправны. Законы физики одинаковы во всех ИСО (ковариантны).
Закон инерции Галилея
Свободное тело в инерциальной СО движется прямолинейно и равномерно.
I закон Ньютона
Тело движется с постоянной скоростью (в т.ч. покоится) в отсутствие внешних сил, т.е. в отсутствие взаимодействия.
Преобразования Галилея
Преобразования координат при переходе из ИСО $S$ в другую $S'$ (в нерелятивистской кинематике, $v \ll c$).
Виды преобразований СО
Трансляция — сдвиг начала отсчёта на вектор $\vec{a}$:
По оси $x$: $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$, ускорения нет ($a_x = 0$):
$$\ell(t) = v_{0x} \cdot t = v_0 \cos\alpha \cdot t$$
По оси $y$: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$, ускорение $-g$:
$$h(t) = v_{0y} \cdot t - \dfrac{g t^2}{2}, \qquad v_y(t) = v_{0y} - g t$$
Правило знаков
Всегда следим за знаком вектора: по оси — «+», против оси — «−».
Пример: радиус кривизны траектории в верхней точке
В высшей точке параболы скорость горизонтальна: $v = v_0 \cos\alpha$, а ускорение $\vec g$ перпендикулярно скорости, поэтому $a_n = g$. Тогда из $a_n = \dfrac{v^2}{R_\text{кр}}$:
$$g = \dfrac{(v_0 \cos\alpha)^2}{R_\text{кр}} \quad\Longrightarrow\quad R_\text{кр} = \dfrac{(v_0 \cos\alpha)^2}{g}$$
3. Специальная теория относительности
Постулаты Эйнштейна (СТО)
Рассматриваются тела при скоростях $v \sim c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с.
1-й постулат. Принцип относительности справедлив для всех явлений физики, не только механических.
2-й постулат. Существует предельная скорость распространения взаимодействий и движения материальных объектов. Она одинакова во всех ИСО и совпадает со скоростью света в вакууме: $c = \max v$.
Следствия:
— Относительность времени, расстояний, масс (продольного размера)
— Взаимосвязь массы и энергии: $E = mc^2$
— Релятивистский закон сложения скоростей
— Неизменность поперечных размеров тела
Относительность одновременности
В классике ($v \ll c$): наблюдатель в вагоне и на перроне фиксируют одновременный приход сигналов. При скоростях $v \sim c$: наблюдатель в $S'$ видит, что свет приходит одновременно, а наблюдатель в $S$ — нет:
Для наблюдателя в $S$ пули не долетают одновременно — одновременность относительна.
Замедление времени
Свет, пущенный вертикально в покоящейся системе, проходит $c\Delta t' = 2(y_B - y_A)$. В движущейся системе свет идёт по диагонали (по теореме Пифагора):
Движущиеся часы идут медленнее! При $V \to c$ имеем $\gamma \to \infty$, при $V \ll c$ — $\gamma \approx 1 + \dfrac{V^2}{2c^2}$.
Сокращение продольных размеров тела
Релятивистский стержень с зеркалами на концах расположен в $S'$ по оси $x'$. Световой импульс пробежит вперёд-назад за время $\Delta t'$, а для неподвижного наблюдателя в $S$ — за время $\Delta t \neq \Delta t'$.
В системе $S'$ световой импульс пробегает вперёд-назад:
Событие — совокупность пространственных координат и времени: $(t, x, y, z) = (x_0, x_1, x_2, x_3)$.
Система $S'$ движется относительно $S$ со скоростью $V$ вдоль оси $x$. При $t_0 = t_0' = 0$, $x_0 = x_0' = 0$. Собственный продольный размер $x' \in S'$ в системе $S$ сокращён: $x = x'/\gamma$.
В классическом пределе $c\to\infty$ эти формулы переходят в галилеевское $\vec{v} = {\vec{v}}' + \vec{V}$. При $v_x' = c$ получаем $v_x = c$ — постоянство скорости света.
Интервал
Определение
Квадрат интервала между событиями 1 и 2:
$$S_{12}^2 = c^2(t_1 - t_2)^2 - \left[(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2\right]$$
Интервал инвариантен: $S_{12}^2 = S_{12}'^2$.
Условие
Тип интервала
$S_{12}^2$
$(c\Delta t)^2 = (\Delta r)^2$
светоподобный
$= 0$
$(c\Delta t)^2 > (\Delta r)^2$
времениподобный
$> 0$
$(c\Delta t)^2 < (\Delta r)^2$
пространственноподобный
$< 0$
Световой конус
Световой конус ограничен образующими $x = \pm ct$. В областях $aOc$ и $bOd$: $(ct)^2 - x^2 > 0$ — интервалы времениподобны. Вне конуса: $(ct)^2 < x^2$ — интервалы пространственноподобны, события причинно не связаны.
Из учебника Кочеев-Сербо, §7
Для времениподобных событий ($S_{12}^2 > 0$) существует ИСО, в которой они происходят в одной точке, но нет ИСО, где они одновременны. Если второе событие позже первого ($t_2 > t_1$), то это верно в любой ИСО — причинно-следственная связь абсолютна.
Для пространственноподобных событий ($S_{12}^2 < 0$) существует ИСО, где они одновременны, но нет ИСО, где они в одной точке — причинная связь между ними невозможна.
ССО (собственная система отсчёта) — система, где рассматриваемое тело покоится. ЛСО (лабораторная система отсчёта) — система, где детекторы и датчики покоятся, а тело движется. Используется для описания движения.
4-скорость и 4-импульс
Определение
4-скорость — производная 4-вектора $X_\mu$ по собственному времени $\tau$:
$$v_\mu = \dfrac{dX_\mu}{d\tau}$$
Так как $d\tau = \dfrac{dt}{\gamma}$ и $dX_0 = c \cdot dt$:
4-импульс:
$$P_\mu = m \cdot v_\mu = (mc\gamma, \, m\vec{v}\gamma)$$
где $m$ — масса покоя.
В релятивизме иногда говорят, что «масса увеличивается»: $m_{\text{рел}} = \dfrac{m_0}{\sqrt{1 - \dfrac{V^2}{c^2}}}$, но важно помнить, что $m$ здесь — масса покоя.
4. Нерелятивистская динамика
Сила. Законы Ньютона
Определение
Сила — векторная величина, характеризующая меру механического взаимодействия тел. Единица: Н (ньютон).
$$1 \text{ Н} = 1 \dfrac{\text{кг} \cdot \text{м}}{\text{с}^2}$$
Если скорость частицы не постоянна — на неё действуют внешние тела через силы.
Сила измеряется динамометром: $F = k \Delta l = k(l - l_0)$, где $k$ — жёсткость пружины.
Определение
Равнодействующая сила — векторная сумма всех сил, действующих на тело (принцип суперпозиции):
$$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \sum_i \vec{F}_i$$
II закон Ньютона
Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и сонаправлено с ней: $\vec{F} \parallel \vec{a}$.
$$\boxed{\vec{F} = m\vec{a}}$$
Масса — мера инертности тела: $m = \dfrac{F}{a}$. Инертность — способность тела сохранять свою скорость при действии сил. Масса одинакова в различных ИСО.
Из учебника Кочеев-Сербо, §8, §10
Альтернативное определение силы (через импульс): сила — это производная импульса по времени: $\vec{F}_i = \dfrac{d\vec{p}_i}{dt}$. Это определение более фундаментально и работает в том числе при переменной массе. Из закона сохранения импульса замкнутой системы двух частиц ($\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \text{const}$) следует $\dfrac{d\vec{p}_1}{dt} = -\dfrac{d\vec{p}_2}{dt}$, т.е. III закон Ньютона.
Область применимости законов Ньютона: вся нерелятивистская классическая механика. В релятивистской области необходимо учитывать поля и запаздывание взаимодействия ($c < \infty$). В квантовой механике понятие траектории теряет точный смысл.
Система
$l$
$m$
$t$
Энергия
Сила
СИ
м
кг
с
Дж
Н
CGS
см
г
с
эрг
дина
III закон Ньютона
Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению (возникают парами, приложены к разным телам):
Сила зависит только от радиус-вектора между телами. При переходе $\vec{r}_i' = \vec{r}_i + \vec{V}t$ ускорение не меняется ($\dfrac{d^2\vec{r}_i'}{dt^2} = \dfrac{d^2\vec{r}_i}{dt^2}$), и разность $\vec{r}_j - \vec{r}_i = \vec{r}_j' - \vec{r}_i'$ — уравнение имеет тот же вид. Это и есть ковариантность.
Числ. метод: разбиваем время $T$ на $N$ шагов, $\tau = \dfrac{T}{N}$, $t_i = i\tau$, $\dfrac{dv}{dt} \approx \dfrac{v_{i+1} - v_i}{\tau}$.
Из учебника Кочеев-Сербо, §8
Устойчивость численной схемы: для явной разностной схемы (метод Эйлера) шаг сетки $\tau$ должен удовлетворять условию $\dfrac{\tau k}{m} \ll 1$, иначе решение будет неустойчивым. Существуют более точные неявные схемы (второго порядка аппроксимации, ошибка $\sim \tau^2$), где значения на $(i+1)$-м шаге входят в правую часть:
$$U_{i+1} = U_i - \dfrac{\tau k}{m} \cdot \dfrac{U_i + U_{i+1}}{2}$$
Закон сохранения импульса
Определение
Импульс силы — произведение силы на время действия:
$$d\vec{P} = \vec{F} \, dt$$
Связь силы и импульса:
$$\vec{F} = \dfrac{d\vec{P}}{dt} = \dfrac{d(m\vec{v})}{dt} = m \dfrac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{a}$$
Верно и при $m \neq \text{const}$: $\vec{F} = \dfrac{d\vec{P}}{dt}$.
Если $F = \text{const}$: $\Delta\vec{P} = \vec{F} \cdot \tau$. Если $F = F(t)$: $\Delta\vec{P} = \int_{t_0}^{t_1} \vec{F} \, dt$.
Определение
Замкнутая система — совокупность тел, взаимодействующих только друг с другом и никак не взаимодействующих с внешними телами.
Вагон движется под действием силы $F$, масса увеличивается: $m(t) = m + \mu t$. Начальная скорость $v = 0$.
$$\Delta P = P(t) = (m + \mu t) \cdot v(t) = Ft$$
$$v(t) = \dfrac{Ft}{m + \mu t} \quad \xrightarrow{t \to \infty} \quad v = \dfrac{F}{\mu}$$
Центр масс
Определение
Центр масс системы частиц — точка, движение которой под действием внешних сил описывает движение всей системы (взвешенное среднее положение):
$$\vec{R} = \dfrac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i} = \dfrac{\sum m_i \vec{r}_i}{M}, \quad M = \sum m_i$$
Закон аддитивности масс: масса сложного тела равна сумме масс его частей ($M = \sum m_i$). Это прямое следствие законов Ньютона. В релятивистской механике уравнения Ньютона неприменимы и закон аддитивности масс не выполняется (масса системы зависит от энергии связи).
Сторона $a$, масса распределена равномерно. Высота $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, поверхностная плотность $\rho = \dfrac{m}{S}$.
Разделим на полоски $dx$, $y(x) = \dfrac{x}{\sqrt{3}}$:
$$X_\text{цм} = \dfrac{\int_0^h x \cdot \rho \cdot 2y(x) \, dx}{m} = \ldots = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
Центр масс на высоте $\dfrac{1}{3}$ медианы.
Пример: всемирное тяготение и орбиты
$$F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}, \qquad G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \dfrac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$$
Две частицы $M$ и $m$ на орбитах вокруг общего центра масс на расстоянии $L$. По II закону Ньютона для каждой:
$$\omega^2 L^3 = G(M + m) \quad \Rightarrow \quad \omega^2 = G \dfrac{M+m}{L^3}$$
Рассмотрим задачу взаимодействия двух частиц с массами $m_1$, $m_2$. На частицы действуют силы: $\vec{F}_{12} = \vec{F}(\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$, $\vec{F}_{21} = -\vec{F}(\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$.
Приведённая масса (для задачи двух тел):
$$\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$$
При $m_1 \gg m_2$: $\mu \to m_2$. При $m_1 = m_2 = m$: $\mu = \dfrac{m}{2}$.
Из учебника Кочеев-Сербо, §9
Задача двух тел сводится к двум независимым задачам, если ввести $\vec{R}$ (ц.м.) и $\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2$ (относительное расстояние):
$$\ddot{\vec{R}} = 0, \qquad \mu \ddot{\vec{r}} = \vec{F}(\vec{r})$$
Центр масс движется равномерно и прямолинейно, а относительное движение эквивалентно движению одной частицы с приведённой массой $\mu$ в поле $\vec{F}(\vec{r})$.
5. Работа и энергия
Работа
Определение
Работа — скалярное произведение силы и перемещения, Дж:
$$A = F S \cos\alpha$$
Перемещение — вектор от начального к конечному положению.
Кинетическая энергия — энергия движения тела, Дж:
$$K = \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{(mv)^2}{2m} = \dfrac{P^2}{2m} = \dfrac{Pv}{2}$$
Связь работы и кинетической энергии:
$$dA = (m\vec{a}, \vec{v} \, dt) = m \, dv \cdot v = d\!\left(\dfrac{mv^2}{2}\right) = dK$$
$$\boxed{A_{12} = K_2 - K_1}$$
Изменение кинетической энергии равно работе действующей силы.
Мощность
Определение
Мощность — работа за единицу времени:
$$N = \dfrac{dA}{dt} \quad \left[\text{Вт} = \dfrac{\text{Дж}}{\text{с}}\right]$$
Пример: брусок на доске
Брусок массой $m$ толкают со скоростью $v$ по доске массой $M$ с коэффициентом трения $\mu$, длина $L$. Найти $v$, чтобы брусок достиг конца доски.
По ЗСИ: $mv = (m+M)u$, значит $u = \dfrac{mv}{m+M}$.
Сила трения: $F_\text{тр} = \mu N = \mu mg$.
Работа трения: $A_\text{тр} = \mu mg L = K_1 - K_2$.
$$\mu mgL = \dfrac{mv^2}{2} - \dfrac{m^2 v^2}{2(m+M)} = \dfrac{v^2 M}{2} \cdot \dfrac{m}{m+M}$$
$$\boxed{v = \sqrt{2\mu gL\left(1 + \dfrac{m}{M}\right)}}$$
Консервативные силы (потенциальные)
Определение
Консервативные силы — силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна нулю (работа не зависит от траектории):
$$\oint (\vec{F}, d\vec{l}\,) = 0$$
Траектория — линия, вдоль которой движется тело.
Из учебника Кочеев-Сербо, §12
Сила трения неконсервативна. Доказательство: сила трения направлена противоположно скорости, поэтому $\vec{F} \cdot \vec{v} < 0$ всюду, и работа по любому замкнутому контуру отрицательна:
$$\oint \vec{F} \cdot d\vec{l} = \oint \vec{F} \cdot \vec{v} \, dt < 0 \neq 0$$
Потенциальная энергия определена с точностью до константы: $U(\vec{r})$ и $U(\vec{r}) + \text{const}$ соответствуют одному и тому же полю сил, т.е. физически эквивалентны (калибровочная свобода).
Пример: неконсервативная сила
$\vec{F} = (2y, \, 2\lambda x)$. По прямой $(0,0) \to (l,l)$: $A = 2\lambda l^2$. По дуге окружности: $A = 2l^2\!\left(2-\dfrac{\pi}{4}\right)$. При $\lambda \neq 1$: $A_1 \neq A_2$ — сила неконсервативна.
Поле одномерной силы
Одномерная сила — действует только по одной оси: $\vec{F} = (f(x), 0, 0)$.
— Сила тяжести: $A = FS\cos\alpha$, работа по замкнутому контуру = 0.
— Сила упругости: $F_\text{упр} = -k\Delta l$, работа деформации $= \dfrac{k\delta x^2}{2}$.
Из учебника Кочеев-Сербо, §12
Потенциальная энергия одномерных сил:
— Сила тяжести (ось $x$ вверх): $f(x) = -mg$, $U(x) = mgx$ (при $U(0) = 0$).
— Линейный осциллятор (пружина): $f(x) = -kx$, $U(x) = \dfrac{kx^2}{2}$.
Любое поле одномерной силы вида $\vec{F} = (f(x), 0, 0)$ является потенциальным (доказывается разбиением замкнутого контура на пары участков, на которых работа сокращается).
Центральное поле
В центральном поле сила направлена по (или против) радиус-вектору:
Примеры: сила тяготения $\vec{F} = -G \dfrac{m_1 m_2}{R^2} \dfrac{\vec{R}}{R}$, сила Кулона $\vec{F} = k \dfrac{q_1 q_2}{r^2} \dfrac{\vec{r}}{r}$.
Потенциальная энергия
Определение
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия, $U$, Дж. Изменение потенциальной энергии равно минус работе консервативной силы:
$$U_2 - U_1 = -\int_1^2 (\vec{F}, d\vec{l}\,) = -A_{12}$$
$\dfrac{dE}{dt} = \sum_i v_i (m_i a_i - F_i) = 0$ по II закону Ньютона.
Из учебника Кочеев-Сербо, §13–14
Важно: ЗСЭ справедлив только если внешние условия стационарны ($\dfrac{\partial U}{\partial t} = 0$). Если потенциальная энергия подсистемы явно зависит от времени (через положения внешних тел), то $\dfrac{dE}{dt} = \dfrac{\partial U}{\partial t} \neq 0$ — энергия подсистемы не сохраняется.
Внутренняя энергия тела — его полная энергия в системе центра масс:
$$E_\text{вн} = E_\text{ц} = K_\text{ц} + U_\text{ц}$$
Полная энергия в ЛСО: $E = E_\text{вн} + \dfrac{MV_\text{цм}^2}{2}$, т.е. сложное тело имеет наименьшую энергию в системе центра масс.
Пример: нитка через блок
Тянем за нитку вниз с силой $F = \text{const}$. Нитка начальной длины $L+h$, конечная $\sqrt{L^2+h^2}$.
$$\Delta K = \dfrac{mv^2}{2}, \quad \Delta U = -F \cdot S, \quad S = L + h - \sqrt{L^2 + h^2}$$
$$v = \sqrt{\dfrac{2FS}{m}}$$
6. Столкновения
Типы: лобовой (скорость вдоль линии удара) и касательный (скорость не совпадает с линией удара).
Коэффициент восстановления
При ударе мяча: фаза деформации (импульс $\int P \, dt$) и фаза восстановления (импульс $\int R \, dt$):
$$e = \dfrac{\int R \, dt}{\int P \, dt} = \dfrac{v - V'}{V - v}, \quad 0 \leq e \leq 1$$
$e = 1$ — абсолютно упругий удар, $e = 0$ — абсолютно неупругий.
Упругое столкновение
Кинетическая энергия сохраняется. В системе центра масс (СЦМ):
Потеря кинетической энергии $K - K'$ при неупругом ударе максимальна, когда $K' = 0$, т.е. когда соударение происходит в системе центра инерции. Это нерелятивистский аналог преимущества встречных пучков в физике элементарных частиц.
Система центра масс (инерции)
Скорость центра масс для 2 тел ($m$ с $v_1$ и $M$ в покое):
Внутренняя энергия уменьшается — часть переходит в кинетическую.
Из учебника Кочеев-Сербо, §14
Условие распада: распад возможен лишь при
$$E_\text{вн} > \sum_i E_{\text{вн},i}$$
т.е. внутренняя энергия исходного тела должна превышать суммарную внутреннюю энергию продуктов распада.
7. Фундаментальные взаимодействия
В природе существует 4 фундаментальных взаимодействия:
Слабое
Действует на расстояниях в 1000 раз меньше протона. Переносчики — бозоны $W^\pm, Z^0$ (+ бозон Хиггса). Примеры:
$\beta^+$: $p \to n + e^+ + \nu_e$
$\beta^-$: $n \to p + e^- + \bar\nu_e$
Необходимо для ядерных реакций.
Электромагнитное
Переносчик — фотоны. Проявления: сила упругости, трения, поверхностного натяжения, Лоренца, Ампера, реакции опоры, натяжения нити, Кулона и т.д.
Заряженные частицы обмениваются фотонами: притягиваются или отталкиваются.
Сильное
Связь кварков внутри протонов и нейтронов. Удерживает протоны и нейтроны в ядре (хотя протоны отталкиваются по Кулону).
В ~100 раз сильнее электромагнитного, но действует на $\sim 10^{-15}$ м.
В изолированной системе сохраняется 4-импульс: $\sum P_\mu^\text{до} = \sum P_\mu^\text{после}$. Это одновременно и закон сохранения импульса, и закон сохранения энергии.
Нерелятивистский случай
Абсолютно неупругое столкновение: $m$ со скоростью $\vec v$ сливается с покоящимся $M$.
Импульс: $m \vec v = (m + M) \vec u$
Масса: $M_f = m + M$ (сохраняется отдельно)
Релятивистский случай
Сохраняется 4-импульс целиком:
$\gamma_1 m c^2 + \gamma_2 M c^2 = \gamma_3 M_f c^2$
$\gamma_1 m \vec v + \gamma_2 M \vec V = \gamma_3 M_f \vec u$
В общем случае $M_f \ne m + M$ — масса не аддитивна!
Пусть составное тело массы $m$ распадается из состояния покоя на $N$ тел. Закон сохранения релятивистской энергии:
$$mc^2 = \sum_{j=1}^{N} \left(m_j c^2 + K_j\right)$$
где $m_j$ и $K_j$ — масса и кинетическая энергия $j$-го продукта распада. Так как $K_j \geqslant 0$, распад возможен, только если $m > \sum_j m_j$.
Величина $\Delta m = \sum_{j=1}^{N} m_j - m$ называется дефектом масс. Распад возможен только при $\Delta m < 0$ Энерговыделение реакции прямо связано с дефектом масс:
$$Q = \sum_{j=1}^{N} K_j = -\Delta m \cdot c^2$$
При $\Delta m > 0$ распад невозможен, а величина $\varepsilon_{\text{св}} = \Delta m \cdot c^2$ есть энергия связи — минимальная работа, которую надо затратить, чтобы «растащить» тело на $N$ составных частей.
Релятивистская сила
Сила по определению есть скорость изменения импульса:
$$\vec F = \dfrac{d \vec P}{d t} = \dfrac{d}{dt}\!\left(m \gamma \vec v\right) = m \gamma \dfrac{d \vec v}{d t} + m \vec v \, \dfrac{(\vec a \cdot \vec v)}{c^2} \gamma^3$$
Рассмотрим два предельных случая:
$\vec a \perp \vec v$
Тогда $\vec a \cdot \vec v = 0$ и второе слагаемое обращается в нуль:
$\vec F = m \gamma \, \vec a$
(криволинейное движение, например по окружности).
$\vec a \parallel \vec v$
Вклады складываются:
$\vec F = m \gamma^3 \, \vec a$
Видно, что «эффективная масса» вдоль направления движения больше, чем поперёк — разогнать частицу вдоль её скорости сложнее.
Элементарная работа: $dA = \vec F \cdot d\vec l$. Можно показать, что $dA = dE$, т.е. работа силы равна приращению полной релятивистской энергии.
Фотон и релятивистский эффект Доплера
Фотон — частица с нулевой массой $m = 0$. Тогда из соотношения $E^2 = m^2 c^4 + \vec P{}^2 c^2$ следует
Пусть в системе $S'$ источник покоится и излучает фотон частоты $\omega'$ под углом $\theta$ к оси $x'$. Система $S$ движется относительно $S'$ со скоростью $V$ вдоль оси $x$. Применяя преобразования Лоренца к 4-импульсу фотона, получаем релятивистский эффект Доплера:
Массу малых частиц измеряют в электронвольтах (эВ), т.к. она сильно связана с энергией ($E = mc^2$): частицы буквально появляются из высокой энергии (например, из высокоэнергетических фотонов или при столкновениях).
Определение
1 эВ — прирост кинетической энергии частицы с зарядом электрона при прохождении разности потенциалов 1 В:
$$1 \text{ эВ} = q_e \cdot U = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 1 \text{ В} = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$$
Масса частицы, точнее $mc^2$, также измеряется в электронвольтах.
Пример
Масса электрона: $m_e c^2 = 0{,}511$ МэВ. Проверка:
Финитное движение — движение в ограниченной области $x_a \le x \le x_b$ (частица заключена в потенциальной яме).
Инфинитное движение — движение в неограниченной области (частица уходит на бесконечность).
Из учебника Кочеев-Сербо, §20
В области $x_1 \leqslant x \leqslant x_2$ частица совершает колебания (движение финитное) с периодом:
$$T(E) = \sqrt{2m} \int_{x_1}^{x_2} \dfrac{dx}{\sqrt{E - U(x)}}$$
где $x_1$ и $x_2$ — точки поворота, определяемые из условия $U(x_i) = E$. В этих точках кинетическая энергия обращается в нуль ($v = 0$), но ускорение $a_i = \dfrac{-U'(x_i)}{m}$ может быть отлично от нуля.
Характеристики периодического движения:
Период $T_0$ — время одного полного колебания.
Циклическая частота $\nu = \dfrac{1}{T_0}$ — число периодов за единицу времени (Герц).
Круговая частота $\omega = \dfrac{2\pi}{T_0} = 2\pi\nu$ — число колебаний за $2\pi$ секунд.
Уравнение гармонических колебаний
Разложим потенциальную энергию в ряд Тейлора вблизи положения равновесия $x_0$:
$$\dfrac{dE}{dt} = m \dot x \ddot x + U''(0)\,x\,\dot x = \dot x \bigl(m \ddot x + U''(0)\,x\bigr) = 0$$
При $\dot x \ne 0$ получаем уравнение гармонических колебаний (справедливо для малых отклонений!):
$$\ddot x + \omega^2 x = 0, \qquad \omega^2 = \dfrac{U''(0)}{m}$$
Общее решение:
$$x(t) = A\sin(\omega t + \varphi) \quad\text{или}\quad x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$
где $A$ — амплитуда, $\varphi$ — начальная фаза.
Из учебника Кочеев-Сербо, §21
Амплитуда определяется начальными условиями $x(0) = x_0$, $\dot x(0) = v_0$:
$$a = \sqrt{x_0^2 + \left(\dfrac{v_0}{\omega}\right)^2}$$
Начальная фаза:
$$\mathrm{tg}\,\varphi = -\dfrac{v_0}{\omega \, x_0}$$
Замечательной особенностью линейного осциллятора является тот факт, что его период колебаний не зависит от амплитуды (или от энергии) колебаний и определяется только жёсткостью $k$ и массой $m$:
$$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$$
Обобщение. Если потенциальная энергия зависит от обобщённой координаты $q$ (не обязательно длины), а кинетическая энергия имеет вид $K = \dfrac{1}{2} f(q)\,\dot q^2$, то вблизи минимума $q_0$ вводят эффективную жёсткость и эффективную массу:
$$k_{\text{эф}} = \dfrac{d^2 U(q_0)}{dq^2}, \qquad m_{\text{эф}} = f(q_0)$$
и уравнение малых колебаний принимает стандартный вид $\ddot x + \omega^2 x = 0$ с $\omega = \sqrt{\dfrac{k_{\text{эф}}}{m_{\text{эф}}}}$.
Пример: для математического маятника $K = \dfrac{1}{2} m l^2 \dot\varphi^2$, $U = mgl(1 - \cos\varphi) \approx \dfrac{1}{2} mgl\,\varphi^2$, откуда $m_{\text{эф}} = ml^2$, $k_{\text{эф}} = mgl$ и $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$.
Модели линейного осциллятора
Примеры систем, совершающих гармонические колебания: